Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника

Задания по планиметрии тематически разбиты на десять пунктов. В каждом пункте кратко изложен необходимый теоретический материал и приведен список заданий. Предполагается, что к первому занятию по планиметрии следует изучить теорию и рассмотреть задания пунктов 1 5, ко второму занятию задания пунктов Перед занятием желательно ознакомиться с соответствующим материалом по указанным темам в школьных учебниках геометрии за 7 9 классы. Заметим, что в теоретических сведениях к решению заданий по первым пяти темам отсутствуют полностью рисунки. Эти рисунки для наилучшего понимания и запоминания материала необходимо сделать самостоятельно.

Зачет по теме "Прямоугольный треугольник"

Углы выпуклого пятиугольника относятся как 3:3:4:5:5. Найдите его углы. Найдите сумму внутренних углов выпуклого семнадцатиугольника. Периметр параллелограмма равен 40 дм, а одна из диогоналей — 8дм. Найдите периметр треугольника, ограниченного данной диагональю и сторонами параллелограмма.

Геометрия 8 класс

Задания по планиметрии тематически разбиты на десять пунктов. В каждом пункте кратко изложен необходимый теоретический материал и приведен список заданий. Предполагается, что к первому занятию по планиметрии следует изучить теорию и рассмотреть задания пунктов 1 5, ко второму занятию задания пунктов Перед занятием желательно ознакомиться с соответствующим материалом по указанным темам в школьных учебниках геометрии за 7 9 классы.

Заметим, что в теоретических сведениях к решению заданий по первым пяти темам отсутствуют полностью рисунки. Эти рисунки для наилучшего понимания и запоминания материала необходимо сделать самостоятельно.

Необходимо научиться, используя эти равенства, находить неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, когда известны одна его сторона и острый угол. В частности, прямоугольный треугольник будет ключевым, если нам даны, например, две его стороны либо сторона и острый угол. В заданиях требуется найти сторону прямоугольного треугольника, в котором не хватает сведений о его компонентах сторонах или углах.

Найдите высоту, опущенную на гипотенузу В прямоугольном треугольнике АВС точка D лежит на катете АВ, причем расстояние от нее до гипотенузы равно расстоянию до вершины А и равно 3. Если, зная два отрезка, не получается сразу применить теорему Пифагора или одно из этих равенств, то удобно взять за неизвестную х отрезок c a или c b , а затем с помощью одного из трех равенств составить квадратное уравнение относительно х.

Тогда выполняются следующие равенства: a b c теорема синусов ; c a b abcos теорема косинусов. Sin Sin Sin Теорему синусов удобно применять в том случае, когда в треугольнике известны: 1 одна сторона и два угла третий угол легко находится либо две стороны и угол, не лежащий между ними. Теорема косинусов хорошо работает, когда в треугольнике известны две стороны, а также третья сторона либо какой-то угол в последнем случае третью сторону берем за х и, используя равенство, составляем квадратное уравнение относительно х.

Поэтому, если использована теорема синусов для нахождения угла, не забывайте рассмотреть случай остроугольного и случай тупоугольного треугольников. Например, если мы найдем косинус наибольшего угла треугольника угла против большей стороны , то по его знаку можно определить вид треугольника остроугольный при положительном косинусе, тупоугольный при отрицательном и прямоугольный в случае равенства косинуса нулю.

Замечаем, что синус любого угла треугольника всегда положителен, а косинус нет. Теперь можно переходить к решению заданий Найдите в градусах наибольший угол треугольника со сторонами 3, 5 и 7... Найти ВС.. Найдите сторону АВ.. Важность этой формулы заключается в том, что в отличии от многих других по этой формуле можно найти площадь треугольника, имея информацию только о двух его компонентах стороне и высоте. Из этой формулы, в частности, следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Зная две стороны а и b треугольника, а также угол между 3 ними, площадь находится по формуле S absin. Если же известны все три стороны а, b и с, то по формуле Герона имеем S p p a p b p c , где р полупериметр треугольника.

Полезными могут оказаться также формулы и не встречающиеся в школьном учебнике: S a Sin Sin, где Sin и - углы треугольника, прилежащие к его стороне а и также S 1 4a b a b c аналог формулы Герона известны все три стороны.

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника Известно, что прямые, проходящие через высоты треугольника, пересекаются в одной и той же точке, называемой ортоцентром.

Оказывается, что ортоцентр является центром окружности, описанной около другого треугольника, стороны которого проходят через вершины данного треугольника, параллельно противолежащим его сторонам докажите это высказывание самостоятельно с обязательным построением соответствующего чертежа.

Напоминаем, что центр описанной окружности около треугольника совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Откуда замечаем, что высоты по длине обратно пропорциональны сторонам, на которые опущены, то есть чем больше сторона треугольника, тем меньше опущенная на нее высота.

Медианы треугольника отрезки, соединяющие вершины с серединами противолежащих сторон пересекаются в одной и той же точке, которая делит каждую из них в отношении :1, считая от вершины. Эту точку обычно называют центром масс треугольника если в вершинах треугольника расположить гири одинаковой массы, то центр масс этой системы трех гирь будет располагаться в точке пересечения медиан.

Из этого факта непосредственно следует, что медиана разрезает треугольник на два равновеликих равных по площади треугольника. Оказывается, что, зная стороны треугольника a, b и с, его медиана т с, проведенная к стороне с, может 1 быть найдена по формуле m c a b c. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной и той же точке, которая является центром вписанной в него окружности.

Теперь можно переходить к решению заданий В треугольнике со сторонами 1, 3 и найдите в градусах угол между высотой и медианой, проведенными из вершины наибольшего угла. Это основная формула для нахождения радиуса вписанной окружности не только в треугольник, но и в любой многоугольник, в который окружность можно вписать. Известно, что около любого треугольника можно описать и притом единственную окружность то есть окружность, проходящую через все три его вершины , причем ее центр совпадает с точкой пересечений серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Отметим, что вторая формула в отличие от первой позволяет найти радиус описанной окружности по двум компонентам по стороне и по синусу противолежащего угла и поэтому является более важной. В заключении отметим, что некоторые формулы, на первый взгляд легко выводимые из рассмотренных выше, в случае правильного равностороннего или прямоугольного треугольника все же желательно выучить наизусть. К таким формулам относятся: a 3 a 3 a a S, h m l, R, r для правильного треугольника со стороной а; ab c ab a b c S, mc R, r для прямоугольного треугольника с катетами a b c а,b и гипотенузой с.

Можно переходить к решению заданий 5 5. Точка D лежит на стороне АС и делит ее в отношении 1 : 3, считая от вершины А. Найдите длину отрезка BD. Медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна 3, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Точка Е делит отрезок BD в отношении 3 : 4, считая от конца В. Если АОС равен радиан или т 0, то говорят, что дуга АВС тоже имеет угловую величину О или соответственно т 0 напоминаем, что угол в равен углу в радиан. Длина окружности радиуса R равна R.

Площадь круга радиуса А С R равна R. Его площадь равна разности площадей сектора и треугольника АОС. Известно, что отношение угловых величин дуг одной окружности равно отношению их длин, а также равно отношению площадей секторов, опирающихся на эти дуги. На рис. E F Рис. Так, на рис. Найдите длину дуги BCD. Окружности и подобные треугольники. Необходимо знать три признака подобия треугольников: по двум пропорциональным соответствующим сторонам и равным углам между ними; по двум равным соответствующим углам; по трем пропорциональным соответствующим сторонам.

Так же необходимо помнить, что коэффициент подобия треугольников может быть найден как отношение их соответствующих компонент, имеющих линейные размеры например, как отношение соответствующих высот, медиан или биссектрис, а также как отношение периметров, радиусов вписанных или радиусов описанных окружностей и т. Квадрат коэффициента подобия треугольников равен отношению площадей соответствующих фигур, связанных с этими треугольниками например, отношению площадей самих треугольников, отношению площадей, вписанных в них кругов, и т.

Часто встречаются ситуации, когда подобные треугольники расположены как на рис. На рис приведены такие ситуации. Периметр и площадь треугольника АВС равны 1 ед. Около треугольника АВС описана окружность. Продолжение медианы АD пересекает окружность в точке Е. Вершины и звенья этой ломаной соответственно называют вершинами и сторонами этого многоугольника.

На рисунке 1 слева направо изображены выпуклый и невыпуклый четырехугольники. Под выпуклым многоугольником понимают такой, который расположен в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через его стороны.

Многоугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда все его внутренние углы меньше Сумма всех внутренних углов любого и даже невыпуклого n-угольника равна n Отрезок, соединяющий не смежные не лежащие на одной стороне вершины Рис. Если d 1, d длины диагоналей четырехугольника, угол между которыми равен, то площадь этого d1d Sin четырехугольника может быть найдена по формуле S.

Оказывается, что в четырехугольнике, с перпендикулярными диагоналями, суммы квадратов противоположных сторон равны. Окружность, проходящая через все вершины многоугольника, называют описанной около него, а окружность, касающуюся каждой его стороны, вписанной в этот многоугольник. Ясно, что если около многоугольника описана окружность или в него вписана окружность, то он является обязательно выпуклым. Также не около всякого многоугольника можно описать окружность.

Если около некоторого многоугольника все же можно описать окружность, то она единственна и его обычно называют вписанным, а радиус этой окружности, зная информацию о двух каких-то смежных сторонах и углу между ними, можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника, построенного на этих двух смежных сто- 7 8 ронах многоугольника. Полезно знать связанные с описанной и вписанной окружностями четырехугольника следующие два утверждения: - около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его двух каких-то противоположных углов равна ; - в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он выпуклый и суммы его противоположных сторон равны.

Многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы тоже равны, называется правильным. В такой многоугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, причем центры этих окружностей совпадают.

Необходимые формулы, связанные с правильным n-угольником A 1 A A n, можно получить в результате рассмотрения треугольника А 1 О А, где О центр вписанной а значит и описанной окружности. Для примера приведем одну из версий таких формул для правильного n-угольника, в случае, когда известна длина а его стороны: 0 0 n 0 a 180 a na ; r Ctg ; R ; S Ctg, 0 n n n Sin n где, r, R и S - соответственно внутренний угол, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь этого правильного n-угольника.

Теперь можно переходить к решению заданий В пятиугольник с площадью вписали окружность радиуса. Найдите наименьшую из его сторон, если их длины относятся как 3 : : 1 : : В правильном шестиугольнике А 1 А А 6 проекция диагонали А 1 А 3 на диагональ А 3 А 6 равна 6.

Найдите площадь вписанного в этот шестиугольник круга Около правильного многоугольника А 1 А А n с внешним углом 30 0 описана окружность радиуса 6. Найдите расстояние от точки А 1 до прямой А 3 А Найдите диаметр окружности, описанной около четырехугольника со сторонами 7, 15, 0 и В четырехугольник с перпендикулярными диагоналями вписана окружность.

Найдите ее радиус, если известно, что какие-то две стороны четырехугольника равны 13 и 15, а одна из его диагоналей равна Параллелограмм Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Условие о том, что четырехугольник является параллелограммом, равносильно каждому из следующих пяти условий: - противоположные стороны четырехугольника попарно равны; - две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны; - противоположные углы четырехугольника попарно равны; - точка пересечения диагоналей четырехугольника делит каждую из них пополам; - каждая из диагоналей четырехугольника делит его на равновеликие треугольники.

Надо знать, что около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он прямоугольник, причем диаметр окружности будет равен диагонали этого прямоугольника.

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он ромб, причем диаметр окружности будет равен высоте этого ромба. Найдите радиус этой окружности, если площадь треугольника AEF равна. Найдите отношение площадей треугольников ABE и ADE Найдите в градусах тупой угол между диагоналями параллелограмма с площадью 3, около которого можно описать окружность радиуса В параллелограмм с одним из углов, равным arcsin, вписан круг.

Ясно, что трапеция выпуклый четырехугольник. Найдите площадь трапеции Найдите меньшее основание трапеции, в которую вписана окружность с диаметром 15 и боковые стороны которой равны 17 и Найдите высоту трапеции, у которой стороны равны 3; 4; 5 и 1.

Второй признак равенства треугольника.

Постройте угол, косинус которого равен: 3 0,5; 4 0,8. У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону.

Ответ на Задача №61, Параграф 7 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Погорелов А.В.

В прямоугольном треугольнике а и b - катеты, c - гипотенуза. Укажите неправильный ответ. В прямоугольном треугольнике m и n — катеты, p — гипотенуза. Найдите ложное утверждение. Катеты прямоугольного треугольни- ка равны 3 и 4 см. Верно ли, что гипоте- нуза этого треугольника равна 6 Задание 4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см, тогда гипотенуза равна: 7 Задание 5. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза. Задания для исследования треугольников 9 Стороны2, 3, 63, 4, 52, 3, 44, 5, 6 Углы Сравнение квадратов сторон Вид треуголь- ника Результаты исследования 10 1 Построить треугольник нельзя: сумма двух сторон меньше третьей стороны. Выдано обратной теоремой Пифагора, Циркулем и Односторонней линейкой.

ПОСМОТРИТЕ ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Острые углы прямоугольного треугольника

Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным:а=20

.

Ответы на Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным:1) по двум катетамa)a=11, b=60б)a=6. Ответы на найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным: по двум катетам а=5 б= Теорема Пифагора. Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным: 1) по двум катетам: а) а = 3.

.

Ответ на Задача №61, Параграф 7 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Погорелов А.В.

.

.

.

.

.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Геометрия Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 20, а площадь