Свойства фигур в геометрии

Если то тоже ставим Подсчитаем двумя способами, сколько знаков в таблице. С одной стороны, в каждой строке их 3, поэтому всего знаков. С другой стороны, таблица заполнена симметрично относительно диагонали: если в клетке С: j стоит то в клетке тоже. Значит, общее количество знаков должно быть четным. Получили противоречие. Здесь мы воспользовались доказательством методом от противного. Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки.

Геометрические фигуры и их свойства

Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции. Окружность, круг. Треугольники Треугольник — одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку — тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.

Геометрические фигуры. Прямоугольник. Свойства прямоугольника.

Свойства геометрических фигур на плоскости Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости План: 1. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства 2. Углы, параллельные и перпендикулярные прямые 3.

Параллельные и перпендикулярные прямые Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Отрезок, прямая, круг, шар — геометрические фигуры. Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник — это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими.

Это, например, куб, шар, пирамида. Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую или содержится в другой , можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур. К А М В Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим. Рассмотрим некоторые понятия, изучаемые в школьном курсе геометрии, их определения и свойства, принимая их без доказательства.

Углы Угол— это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — его вершиной. Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой. Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым.

Угол, меньший прямого, называетсяострым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называетсятупым. Плоский угол— это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Существуют два плоских угла, образованных двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными.

А В Углы, которые рассматриваются в планиметрии, не превосходят развернутого. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Справедливость этого свойства вытекает их определения смежных углов. Два угла называются вертикальными,если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вертикальные углы равны. Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, и прежде всего признаки параллельности. Признаками называют теоремы, в которых устанавливается наличие какого-либо свойства объекта, находящегося в определенной ситуации.

В частности, необходимость рассмотрения признаков параллельности прямых вызвана тем, что нередко в практике требуется решить вопрос о взаимном расположении двух прямых, но в то же время нельзя непосредственно воспользоваться определением. Рассмотрим следующие признаки параллельности прямых: 1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу. Важное свойство параллельных прямых раскрываются в теореме,носящей имя древнегреческого математикаФалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Основные свойства перпендикулярных прямых нашли отражение в двух теоремах: 1. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую, и только одну. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющей концом их точку пересечения.

Конец этого отрезка называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой. Расстоянием между параллельными прямыминазывается расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой. Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости План: 4.

Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции. Окружность, круг. Треугольники Треугольник — одна из простейших геометрических фигур.

Но его изучение породило целую науку — тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником или плоским треугольником.

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Биссектрисойтреугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющей вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианойтреугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. Средней линиейтреугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающих более быстрое решение вопроса об отношениях ме5жду ними.

Таких признаков три: 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника. Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Отметим несколько свойств треугольников. Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Четырехугольники Четырехугольникомназывается фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки — его сторонами. Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называется четырехугольником или плоским четырехугольником. Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. Пусть АВСD— параллелограмм. Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник — параллелограмм. Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них: 1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы равны. Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции обладает свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме. Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы. Прямоугольникомназывается параллелограмм, у которого все углы прямые.

§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости

Копирайтер, увлекаюсь психологией и философией. Люблю искусство и моду Фигуры на плоскости изучают раздел геометрии- планиметрия. Геометрическая фигура-это любое множество точек. Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.

Геометрические фигуры

Свойства геометрических фигур на плоскости Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости План: 1. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства 2. Углы, параллельные и перпендикулярные прямые 3. Параллельные и перпендикулярные прямые Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Отрезок, прямая, круг, шар — геометрические фигуры. Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник — это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими.

Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости

В Углы, которые рассматриваются в планиметрии, не превосходят развернутого. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Справедливость этого свойства вытекает их определения смежных углов. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Вертикальные углы равны. Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, и прежде всего признаки параллельности.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется Основные свойства простых фигур выражаются в аксиомах: 1. СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ. План: 1. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства. 2. Углы. Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку – тригонометрию, которая возникла.

.

Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости

.

.

.

.

.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Основные свойства простейших фигур. Геометрия 7-9 классы. Урок 1